Eindhovense Modelbouwvereniging

 

 

Inleiding

In dit artikel beschrijven we een van de bekendste rangeerpuzzels ter wereld: de 'Inglenook Sidings' van Alan Wright (1928 - 2005).

Het verraderlijke van deze puzzel is de, op het eerste gezicht, eenvoudige opbouw met maar twee wissels en twee opstelsporen.
Echter, het oplossen van deze puzzel neemt al gauw tussen de 15 en 30 minuten in beslag. Daarbij kan de te volgen strategie - die sterke overeenkomst heeft met de berekeningen die een rangeerploeg in de werkelijkheid moet uitvoeren - zeer snel complex worden. Ter indicatie, er zijn maar liefst 40.320 verschillende startcombinaties die resulteren in 6.720 verschillende treinen!

Inglenook Sidings Sporenplan - Tekening: Hans van de Burgt

Het baanplan bestaat uit een uithaalspoor, twee wissels en drie opstelsporen. De lengte van de opstelsporen (5-3-3) wordt bepaald door de spelregels. In het geval van de Inglenook Sidings heeft de langste opstelspoor (spoor B) een capaciteit van vijf wagens terwijl de beide andere (spoor C en D) elk een capaciteit van drie wagens hebben. Het uithaalspoor (A) heeft een capaciteit van drie wagens + de gebruikte locomotief. Een belangrijke voorwaarde is dat alle gebruikte wagens ongeveer dezelfde lengte moeten hebben. Het aantal benodigde wagens is overigens maar acht, plus natuurlijk de locomotief.

Het spel in een notendop

Benodigdheden:

·        Een locomotief en acht wagens van gelijke lengte.

·        Acht kaarten (of fiches), die elk een van de wagens voorstellen.

·        Een Inglenook-baan passend bij de gebruikte wagens en de locomotief.

 

Inglenook Sidings Startsituatie  - Tekening: Hans van de Burgt

Het spel begint met het willekeurig opstellen van de acht wagens. Vijf op het hoofdspoor en drie op een van de twee opstelsporen. Het andere opstelspoor blijft dus vrij.
Schudt vervolgens de acht kaarten (die dus elk een wagen vertegenwoordige) en trek er vervolgens vijf kaarten uit. Stel vervolgens de trein samen, die bestaat uit de getrokken vijf wagens.

Probeer maar eens de volgende trein samen te stellen:

Inglenook Sidings Eindsituatie - Tekening: Hans van de Burgt

Let hierbij wel op de volgende regels:

·        De nieuwe trein moet komen te staan op het spoor waar nu reeds de vijf wagens staan.

·        De wagens in de nieuwe trein moeten in de volgorde van het trekken van de kaarten staan!

·        Dit alles moet met zo min mogelijk rangeerbewegingen worden gerealiseerd....

Dit klinkt al lang niet meer zo simpel, of wel?
Zie voor de strategie en aanpak van deze puzzel, het artikel Oplossing Inglenook Sidings bij 'Meer informatie'.

Baanformaat

De totale omvang van de puzzelbaan is relatief klein, maar kan aanzienlijk varieren in lengte, omdat de lengte van het uithaal- en de opstelsporen wordt bepaald door de gebruikte wagens en locomotief. Het originele ontwerp van Alan Wright was maar 30 cm x 120 cm groot. Dit bereikte hij door de goederen wagens uit de Engelse stoom/diesel-overgangsperiode te gebruiken. Deze wagens zijn namelijk relatief kort: een standaard wielbasis van drie meter, met een lengte over de buffers van 6,15 meter. Dit vertaalde zich in de schaal 00 (1:76) in wagentjes van acht cm lang. Een opstelspoor van 50 cm kan zo heel gemakkelijk vijf wagens bevatten.

De locomotiefkeuze is afhankelijk van het nagebootste prototype. De voorkeur gaat uit naar kleine tot middelgrote rangeerlocomotieven. Voor Amerikaanse banen is dat een GE 44-tonner of een EMD SW700/800/15000. Voor Britse modelbanen kan bijvoorbeeld een Terrier Class gebruikt worden. Voor Duitse banen is een Koef het summum, maar is een BR15 of V60 (en optioneel zelfs een V80 of V100) de aangewezen keuze. Naar Nederlands voorbeeld komt een Sik of serie 500/600 in beeld.

Mini Inglenook

Nu kan het zijn dat er zelfs niet voldoende ruimte beschikbaar is om een 'normaal' Inglenook-ontwerp te realiseren, of dat er juist in een grotere schaal (O, I of LGB) wordt gebouwd. Dan is het mogelijk om de Inglenook te vereenvoudigen tot 3-2-2. Het langste (onderste) opstelspoor krijgt dan een capaciteit van drie wagens terwijl de twee andere elke een capaciteit van twee wagens hebben. Het uithaalspoor krijgt een capaciteit van twee wagens + de gebruikte locomotief. Voor het spel zijn nu nog maar vijf wagens en een locomotief nodig. Het aantal combinaties (en dus de complexiteit) neemt overigens wel drastisch af met 120 verschillende opstellingen van wagens en 'maar' 60 verschillende trein samenstellingen.

Een tussenvariant is om met hetzelfde sporenplan (3-2-2) echter zes i.p.v. vijf wagens te gebruiken, om een trein uit vier wagens te maken. Hierdoor neemt de complexiteit al weer toe tot 720 verschillende startcombinaties en 360 verschillende treinen.

Het wiskundige aspect van deze puzzel

Het baanplan bestaat uit een uithaalspoor, twee wissels en drie opstelsporen. De lengte van de opstelsporen (5-3-3) wordt bepaald door de spelregels. In het geval van de Inglenook Sidings heeft de langste (onderste) opstelspoor een capaciteit van vijf wagens terwijl de beide andere elke een capaciteit van drie wagens hebben. Het uithaalspoor heeft een capaciteit van drie wagens + de gebruikte locomotief. Alle gebruikte wagens hebben overigens dezelfde lengte en er zijn acht stuks, plus natuurlijk de locomotief, benodigd.

De vraag:

Bepaal de complexiteit van de drie voorgestelde varianten van de Inglenook Sidings-puzzel. Gebruik hiervoor de onderstaande tabel en beantwoord per variant de volgende twee vragen:

·        Het aantal verschillende (unieke) wagencombinaties.

·        Het aantal verschillende (unieke) treincombinaties.

	Aantal Wagens	Aantal	Aantal	Aantal
		Verschillende wagencombinaties.	Wagens in de trein.	Verschillende treincombinaties.
Klassieke Inglenook.	8		5
Tussenvariant.	6		4
Minimale Inglenook.	5		3

 

Tabel gemaakt door: Hans van de Burgt

De oplossing

De wiskundige aanpak voor dit probleem is het bepalen van het aantal permutaties die optreden bij een specifieke puzzel. De oplossing is eenvoudig, waarbij er gebruik wordt gemaakt van de faculteitsfunctie.
Stel dat 'n' het totaal aantal wagens van de puzzel is en dat 'k' het aantal te selecteren wagens is voor in de trein. De benodigde formule ziet er dan als volgt uit:

n!

(n-k)!

Het toepassen van deze formule op de Klassieke Inglenook Sidings levert de volgende berekening op:

8!		40320!		6720
__________	=	___________	=
(8-5)!		6!

Het tussenresultaat en de uitkomst vertellen ons dat de acht wagens op 40.320 verschillende manieren op de Inglenook Sidings-puzzel kunnen staan en dat u met deze wagens 6.720 unieke treinen kunt maken.

	Aantal Wagens.	Aantal.	Aantal.	Aantal.
		Verschillende wagencombinaties.	Wagens in de trein.	Verschillende treincombinaties.
Klassieke Inglenook.	8	40.320	5	6.720
Tussenvariant.	6	720	4	360
Minimale Inglenook.	5	120	3	60

 

Tabel gemaakt door: Hans van de Burgt

Met andere woorden...: indien u deze 6.720 treinen allemaal zou willen samenstellen, waarbij u vier puzzels per uur oplost en u dit drie uur per avond volhoudt, u 560 avonden nodig hebt....